《基本不等式》导学案

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约3140字。

　　高二数学必修五第四节：基本不等式
　　导学案
　　学习目标：1.理解基本不等式    的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
　　2. 理解利用基本不等式      证明不等式的方法
　　学习重点、难点：
　　1. 应用数形结合的思想理解基本不等式
　　2. 理解利用基本不等式    证明不等式的方法
　　3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型
　　学法指导：启发式教学法
　　知识链接：
　　问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
　　提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.
　　∴a2＋b2≥2ab.
　　问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？
　　提示：当且仅当a＝b时成立．
　　问题3：若以a，b分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？
　　提示：a＋b≥2ab.
　　问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？
　　提示：当且仅当a＝b时成立．
　　[导入新知]
　　1．重要不等式
　　当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
　　2．基本不等式
　　1．有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．
　　2．不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．
　　(3)变形：ab≤a＋b22，a＋b≥2 ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
　　[化解疑难]
　　1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则 ab≠a＋b2，即只能有ab＜a＋b2.
　　2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中