§1.3.1函数的单调性教案

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　　课题：§1.3.1函数的单调性
　　教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
　　（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
　　（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
　　教学重点：函数的单调性及其几何意义．
　　教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 
　　教学过程：
一、 　　引入课题
1． 　　观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
　　
　　○11 随x的增大，y的值有什么变化？
　　○22 能否看出函数的最大、最小值？
　　○33 函数图象是否具有某种对称性？
2． 　　画出下列函数的图象，观察其变化规律：
　　1．f(x) = x
　　○11 从左至右图象上升还是下降 ______?
　　○22 在区间 ____________ 上，随着x的增
　　大，f(x)的值随着 ________ ．
　　
　　2．f(x) = -2x+1
　　○11 从左至右图象上升还是下降 ______?
　　○22 在区间 ____________ 上，随着x的增
　　大，f(x)的值随着 ________ ．
　　3．f(x) = x2
　　○11在区间 ____________ 上，f(x)的值随
　　着x的增大而 ________ ．
　　○22 在区间 ____________ 上，f(x)的值随
　　着x的增大而 ________ ．
二、 　　新课教学
　　（一）函数单调性定义
　　1．增函数
　　一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
　　如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．
　　思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
　　注意：
　　○11 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
　　○22 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
　　2．函数的单调性定义
　　如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
　　3．判断函数单调性的方法步骤
　　利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
　　○11 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
　　○22 作差f(x1)－f(x2)；
　　○33 变形（通常是因式分解和配方）；
　　○44 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
　　○55 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
　　（二）典型例题
　　例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
　　解：（略）
　　巩固练习：课本P38练习第1、2题
　　例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
　　解：（略）
　　巩固练习：
　　○11 课本P38练习第3题；
　　○22 证明函数在（1，+∞）上为增函数．
　　例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
　　解：（略）
　　思考：画出反比例函数的图象．
　　○11 这个函数的定义域是什么？
　　○22 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（一） 　　说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象