《三角函数的图象和性质》教案

约14880字。

　　高一数学学教案
　　第一课时  三角函数的图象和性质(一)
　　主备人   宋振苏  
　　教学目标：
　　掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
　　教学重点：
　　正、余弦函数的周期
　　教学难点：
　　函数的周期性
　　教学过程：
　　由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有：
　　sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，
　　正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
　　一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
　　由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
　　对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
　　根据上述定义，可知：
　　正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
　　以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期
　　正切函数是周期函数，且周期T＝π
　　课本P25例1、例2
　　一般地，函数y＝Asin(ωx＋ )及y＝Acos(ωx＋ )（其中A、ω、 为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝2πω ，函数y＝Atan (ωx＋ )的周期T＝πω
　　周期函数应注意以下几点：
　　1.式子f(x＋T)＝f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x，式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.
　　例如：由于sin(π12 ＋5π6 )＝sinπ12 ，即sin(x＋5π6 )＝sinx.该式中x取π12 时等式成立，能否断定5π6 是sinx的周期呢?不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x＝π6 时，sin(x＋5π6 )≠sinx.
　　［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数吗?
　　解：不是，举反例，当T＝2π时，令x＝－2π，则有cos(x＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不属于题设的定义域，则x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函数.
　　2.式子f(x＋T)＝f(T)是对“x”而言.
　　例如，由cos( x3 ＋2kπ)＝cosx3  (k∈Z)，是否可以说cosx3 的周期为2kπ呢?不能!因为cos( x3 ＋2kπ)＝cosx＋6kπ3 ，即cosx＋6kπ3 ＝cosx3  (k∈Z)，所以cosx3 的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z).
　　3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.
　　4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.
　　有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：
　　［例1］函数y＝sinπx的周期是T＝2ππ ＝2.