《平面向量的线性运算与坐标表示》学案

约3010字。

　　课题4 平面向量的线性运算与坐标表示
　　一、学习目标：
　　1．理解向量相等的含义，掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理，了解向量的线性运算性质及其几何意义；
　　2．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
　　二、基础回顾：
　　⒈若向量 =（2,3）， =（4,7）， 则 =___________
　　【考点】平面向量的坐标运算。
　　【解析】 =  。
　　⒉ 若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b＋a的坐标是________．
　　【解析】　2b＋a＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)．
　　【答案】　(3,0)
　　⒊ 已知点 在线段 上，且 ，设 ，则实数 =              ．
　　⒋在平面直角坐标系中， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量 ，则点 的坐标是_______________
　　【考点】向量的计算。
　　【解析】∵
　　∴设 ，得 。
　　又∵向量 按逆时针旋转 后，得向量 ，
　　∴
　　⒌已知点P在△ABC 所在的平面内，若2 ＋3 ＋4 ＝3 ，则△PAB与△PBC的面积的比值为________．
　　解析：因为2 ＋3 ＋4 ＝3 ，
　　所以2 ＋3 ＋4 ＝3 －3 ，
　　即5 ＋4 ＝0，
　　所以△PAB与△PBC的面积的比为PA∶PC＝4∶5.
　　答案：45
　　三、典例精析
　　题型1　平面向量的坐标运算
　　例1已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 ＝a， ＝b， ＝c.
　　(1)求3a＋b－3c；
　　(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
　　解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
　　(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
　　＝(15－6－3，－15－3－24)
　　＝(6，－42)．
　　(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
　　∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.
　　1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
　　2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
　　借题发挥1：
　　向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.
　　解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.
　　答案：4
　　题型2　平面向量的线性运算
　　例2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若 ＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
　　[解析]　由题意 ＝ ＋ ＝12 ＋23 ＝12 ＋23( ＋ )＝