2015-2016学年高一数学补充内容教案：复合函数的单调性

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　　教案：复合函数的单调性
　　教学任务：明确并理解复合函数定义；会求复合函数的单调区间；会讨论含参复合函数的单调性问题。
　　教学目的：有助于研究复合函数的性质，提升对函数思想的进一步理解。
　　教学意义：在复合函数中，“中间变量”是形成问题转化的桥梁和关键，这一认识将帮助学生提高利用函数思想解决问题的能力。
　　课堂教学过程
　　一、复合函数定义
　　设 定义域为Ａ， 的值域为Ｂ，若 ，则 关于 的函数 叫做函数 与 的复合函数， 叫中间变量．
　　例如：
　　分析： ＝ ，定义域 ；
　　，值域为 ；
　　满足 ，故 是上述对数函数与一元二次函数的复合函数．
　　二、４个引理
　　引理１　已知函数 ，若 在区间 上是增函数，其值域为 ，又函数 在区间 上是增函数，那么该复合函数 在区间 上是增函数．（说明：引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间．）
　　证明：设 ，则
　　因为， 在区间 上是增函数，所以有 ；
　　又因为，函数 在区间 上是增函数，所以有 ．得 ，所以在 上，由 可以得 ．
　　综上所述可得：复合函数 在区间 上是增函数．
　　引理２　已知函数 ，若 在区间 上是减函数，其值域为