《三角恒等变换》全章导学案

约10060字。

　　鸡西市第十九中学学案
　　2014年（    ）月（    ）日                          班级    姓名       
　　3．1.1　两角差的余弦公式
　　学习
　　目标 1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
　　2．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算
　　重点
　　难点 当给出α、β的某个三角函数值，在求cos(α－β)值时，要善于利用同角间的三角函数关系式求出α、β的正弦和余弦值，再利用公式来求其值.
　　【两角差余弦公式的探索】
　　问题1　有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明．
　　例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝       ＝        ，
　　而cos α－cos β＝        －         ＝          ，
　　所以，cos(α－β)≠cos α－cos β；
　　再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝       ＝        ，
　　而cos α－cos β＝        －         ＝          ，
　　问题2　请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
　　①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝                                 ；
　　②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝                                 ；
　　③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝                                 ；
　　④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝                                 .
　　猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝           ；
　　即：                                   .
　　【两角差余弦公式的证明】(证明过程只需要了解、不要求掌握)
　　如图，以坐标原点为中心，作单位圆，设 ， ,则     
　　(备用图)
　　过点P作 ，垂足为A，过点P作 轴，垂足为M，
　　过点A作 轴，垂足为B，
　　在 中，OP=      ，
　　=      ，
　　=      ，
　　易知  +         = ， +         = = ，
　　=      ，
　　在 中， , OB=      ，
　　过点P作 ，垂足为C，则CP=BM，
　　在 中， , CP=      ，
　　我们发现 =       ,
　　于是，OM=OB+BM= OB+CP=      +      =      +      ，
　　+          
　　这个公式称为差角的余弦公式，简记作
　　【两角差余弦公式的应用】
　　例1　利用差角余弦公式求 的值 (详见课本126页)；再求 的值。
　　例2　求下列三角函数式的值．
　　(1)sin π12；                         (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；
　　(3)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．
　　小结　在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．
　　训练1　求cos 105°＋sin 195°的值．