《函数与方程》复习讲义

约4100字。

　　函数与方程复习讲义
　　一．【目标要求】
　　①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，
　　②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
　　③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.
　　二．【基础知识】
　　1．函数零点的概念：
　　对于函数 ，我们把方程 的实数根叫做函数 的零点。
　　2．函数零点与方程根的关系：
　　方程 有实数根 函数 的图象与 有点 函数 有零点
　　3．函数零点的存在性定理：
　　如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有        ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。
　　注：若 恒成立，则没有零点。
　　三．【技巧平台】
　　1.对函数零点的理解及补充
　　（1）若 在 处其函数值为0，即 ，则称 为函数 的零点。
　　（2）变号零点与不变号零点
　　①若函数 在零点 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 的变号零点。
　　②若函数 在零点 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零点。
　　③若函数 在区间 上的图像是一条连续的曲线，则 是 在区间 内有零点的充分不必要条件。
　　（3）一般结论：函数 的零点就是方程 的实数根。从图像上看，函数 的零点，就是它图像与 交点的横坐标。
　　（4）更一般的结论：函数 的零点就是方程 的实数根，也
　　就是函数 与 的图像交点的横坐标。
　　2.函数 零点个数（或方程 实数根的个数）确定方法
　　1) 代数法：函数 的零点 的根
　　2) 几何法：有些不容易直接求出的函数 的零点或方程 的根，可利用  的图像和性质找出零点。画
　　3) 注意二次函数的零点个数问题
　　有2个零点 有两个不等实根
　　有1个零点 有两个相等实根
　　无零点 无实根
　　对于二次函数在区间 上的零点个数，要结合图像进行确定
　　4) 对于函数 的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。
　　5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。
　　6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。
　　3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。