《指数函数与对数函数的关系》教学设计

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约3090字。

　　示范教案
　　整体设计
　　教学分析　　　　　
　　教材通过函数y＝2x与y＝log2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．
　　三维目标　　　　　
　　了解反函数的概念，知道y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，树立普遍联系的思想．
　　重点难点　　　　　
　　教学重点：y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系和反函数的概念．
　　教学难点：理解反函数的概念．
　　课时安排　　　　　
　　1课时
　　教学过程
　　导入新课　　　　　
　　思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容．
　　思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝ax和函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
　　推进新课　　　　　
　　新知探究
　　提出问题
　　①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图象.
　　②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
　　③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
　　④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系.
　　⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系.
　　⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系.
　　讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.
　　x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
　　y … 18
　　14
　　12
　　1 2 4 8 …
　　y＝log2x.
　　y … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
　　x … 18
　　14
　　12
　　1 2 4 8 …
　　图象如下图所示．
　　②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
　　③由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x、y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．