高一数学讲义第三讲函数（二）

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　　高一数学讲义（复习）    第三讲  函数（二）
　　一、知识要点
　　（一）函数的单调性
　　1、增（减）函数：如果函数 对于定义域I内某个区间D上的     两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有     （     ），那么就说函数在 区间D上是
　　增（减）函数。特别注意：x1、x2的三个特征一定要予以重视。增（减）函数定义中的x1、x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可。
　　2、函数的单调性、单调区间：如果函数y= 在区间D上是       或       ，那么就说
　　y= 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y= 的单调区间。注意：若函数 在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为 在A∪B上是增（减）函数。
　　3、函数单调性的几何意义：反映在图象上，若 是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是       （       ）的。
　　4、函数的最大（小）值：一般地，设函数y= 的定义域为I。如果存在实数M满足：
　　（1）对于任意的x∈I，都有 ≤M（ ≥M）；
　　（2）存在x0∈I，使得 =M，则称M是函数 的最大（小）值。
　　（二）函数的奇偶性
　　1、偶（奇）函数的定义：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个x，都有         
　　（              ），那么函数 就叫做偶（奇）函数。
　　2、函数的奇偶性：函数是       或       称为函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的整体性质。
　　3、函数的奇偶性的有关性质：
　　（1）函数y= 是奇函数（或偶函数）的前提条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原
　　点对称；否则这个函数既不是奇函数又不是偶函数。
　　（2）函数按奇偶性可分为：奇函数、偶函数，既是奇函数又是偶函数（如 =0，x∈R）,既不是奇函数又不是偶函数。
　　（3）偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数； 
　　奇（偶）数个奇函数的积、商为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。
　　（4）具有奇偶性的函数的图象特征：偶函数的图象关于    对称；奇函数的图象关于    对称。
　　（5）若奇函数 在x=0处有定义，则          ，即其图象过      。
　　二、学法指导
　　1、正确理解函数的单调性，奇偶性的概念，会使用概念进行判断和证明，注意定义的可逆性和灵活性。
　　2、奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同而偶函数相反，简称奇同偶异。
　　3、注意函数性质在解题中的应用。如用单调性求函数的最值等。
　　【例题分析】
　　例1、判断函数 在区间 上的单调性
　　变式1、画出常见初等函数的图像并判断单调性
　　（1）一次函数          （2）反比例函数             （3）二次函数
　　例2、已知函数 ，（1）证明 在（1，+∞）上是减函数；（2）当 时，