竞赛中的向量和向量方法

约3740字。

　　向量和向量方法
　　（本讲适合高中）
　　空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．
　　一、有关知识：
　　（1） 共线向量定理： 存在唯一的实数 使得 ．
　　（2） 平面向量基本定理：设向量 为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量 ，有且仅有唯一的有序实数对 使得 ．
　　（3） 若 ，则 三点共线的充要条件是 ．定比分点公式：若点 在直线 上，且 ， 为任意一点，则 ．
　　（4） 对于向量 ， ．
　　（5） 设 为两个向量，则 ， ．
　　（6） 空间向量基本定理：设向量 为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量 ，有且仅有唯一的有序实数组 使得 ．
　　若 ，则 四点共面的充要条件是 ．
　　（7） 两向量的夹角公式： ；向量模长公式： ；点 到平面 的距离公式： （其中 是以点 为起点，以平面 内任意一点为终点的一个向量， 是平面 的一个法向量）．
　　（8） 三角形中“四心”的向量形式：
　　重心：若 为 的重心，则 ；
　　垂心：若 为 的垂心，则(1) ；
　　(2)  ；
　　外心：若 为 的外心，则 ；
　　结合垂心有： ；
　　内心：若 为 的内心，则 ．
　　二、赛题分析：
　　§１几何中的运用
　　例1.（2004年全国高中联赛）设 点在 的内部，且有 ，则  的面积与 的面积之比为（    ）
　　A．          B．          C．          D．
　　【分析及解答】
　　思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量．
　　如图1，取 中点 ， 中点 ，则有 ， ，
　　故 ，
　　即 ，
　　所以 三点共线且 ，
　　故选C．
　　【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度