高中数学竞赛教案 —柯西不等式的证明及应用

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　　           高中数学竞赛教案 —柯西不等式的证明及应用 
　　柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。
　　柯西（Cauchy）不等式 
　　
　　等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：
　　证明1：构造二次函数 
　　=
　　                 
　　恒成立
　　
　　即
　　当且仅当  即时等号成立
　　证明（2）数学归纳法
　　（1）当时     左式=        右式=
　　显然      左式=右式
　　当 时， 右式  右式      
　　仅当即  即时等号成立
　　故时 不等式成立 
　　（2）假设时，不等式成立
　　即 
　　当 ，k为常数， 或时等号成立
　　设   
　　
　　则
　　
　　
　　
　　当 ，k为常数， 或时等号成立
　　即  时不等式成立
　　综合（1）（2）可知不等式成立
　　柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：