河北省唐山一中数学奥赛《平面几何》教案

约6610字。

　　唐山一中省级奥班讲稿：平面几何
　　数形结合，动静互易（一）
　　在解决代数问题时，要注意其几何意义，通过几何图形的直观反映题设条件与结论之间的联系，反之在解决几何问题时，应注意其间的数量关系，有时结合代数方法，可弥补直觉想像的不足.
　　例1．正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，
　　求证：aB+bC+cA<k2
　　(节21届全苏数学奥林匹克竞赛题)
　　《分析》除了纯代数方法以外，若能联想几何意义，视正数为线段长，则两正数之积可与面积相联系，于是可构造以k为边长的正三角形，使其三边分别为a+A，B+b，C+c，（如图1）
　　于是求证的结论可视作要证
　　S△PNM+S△QLN+S△RLM<S△PQR 
　　（∵ ； ；
　　； ）
　　结论显然成立.
　　《说明》此例的几何证法不太好想，但只要想到，其优越性是不言自明的.
　　例2．若2x+y≥1，试求函数
　　W=y2-2y+x2+4x的最小值
　　《分析》若采用纯代数的方法求解，过程相当繁杂，不妨试用几何方法.
　　《解》设P(x，y)是直角坐标平面oxy上的一点，则
　　2x+y≥1
　　表示直线2x+y-1=0的上方（含直线本身）区域.
　　再视W=y2-2y+x2+4x为方程，变形为：(x+2)2+(y-1)2=W+5
　　可见它表示以o′(-2，1)为圆心， 为半径的圆.由于W不定它表示的是动圆，而其上点(x，y)应是直线2x+y-1=0上方（含直线）的点，为使W最小，即需此动圆半径最小，此即o′到直线ι的距离. 
　　故当 时，
　　即 为所求最小值.
　　为求出何时取到最小值，只需再解方程组
　　得 ；即此时，函数取最小值.
　　例3．解不等式：
　　分析：本题是道高考的容易题，但实际上当年考生得分并不高，错误的原因就在于绝大多数同学只会用分类讨论的方法解此无理不等式，而在讨论时，又分类不全，错误率很高，其实只要有数形结合的思想，利用图象求解，本题还是很容易的.
　　《解》作 与y=x+1的图象于同一坐标系，解方程组
　　得出交点A(2，2)，注意到B( ，0)，结合题意可能不等式的解为
　　x∈( 2）