《数学奥赛辅导第二讲整除》教案

　　此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

　　约3750字 数学奥赛辅导     第二讲      
　　整除
　　知识、方法、技能
　　整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.
　　Ⅰ. 整数的整除性
　　初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如 是整除， ，则 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.
　　定义一：（带余除法）对于任一整数 和任一整数 ，必有惟一的一对整数 ， 使得 ， ，并且整数 和 由上述条件惟一确定，则 称为 除 的不完全商， 称为 除 的余数.
　　若 ，则称 整除 ，或 被 整除，或称 的倍数，或称 的约数（又叫因子），记为 .否则， |  .
　　任何 的非 的约数，叫做 的真约数.
　　0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.
　　任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.
　　由整除的定义，不难得出整除的如下性质：
　　（1）若 
　　（2）若 
　　（3）若 ，则 反之，亦成立.
　　（4）若 .因此，若 .
　　（5） 、 互质，若 
　　（6） 为质数，若 则 必能整除