《数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射》教案

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　　约3690字 数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射
　　知识、方法、技能
　　这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识
　　Ⅰ.有限集元素的数目
　　1．有限集的阶
　　有限集A的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)].
　　2．集族的阶
　　若M为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M为集族.
　　设A为有限集，由A的若干个子集构成的集合称为集合A的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题.
　　显然，若|A|=n，则由A的所有子集构成的子集族的阶为2n.
　　Ⅱ.映射，映射法
　　定义1  设X和Y是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个 ，都有惟一确定的 与之对应，则称这个对应关系为X到Y的映射.记为 这时, 称为 的象,而x称为y的原象,特别当X和Y都是数集时，映射f称为函数.
　　定义2  设f为从X到Y的一个映射.
　　(1)如果对于任何x1、 
　　（2）如果对于任何 ，都有 ，使得f(x)=y，则称f为满射;
　　（3）如果映射f既为单射又为满射，则称f为双射；
　　（4）如果f为满射且对任何 ，恰有X中的m个元素x1、x2、…xm，使得
　　
　　定理1  设X和Y都是有限集，f为从X到Y的一个映射,
　　（1）如果f为单射，则|X|≤|Y|
　　（2）如果f为满射，则|X|≥|Y|
　　（3）如果f为双射，则|X|=|Y|
　　（4）如果f为倍数为m的倍数映射，则|X|=m|Y|.
　　这个定理的结果是显然的.
　　定理2  设有限集 是A到A上的映射， 
　　则f是一一映射（即双射）的充要条件是：对任意 
　　证明：必要性.若f是双射，则 （此时mi=1）,或者 在后一种情形下，不可能有 否则，ai1在A中有两个原象ai和ai1，与f是双射不合，而只可能有