《高中数学竞赛讲义（1）——集合与简易逻辑》教案

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　　约2720字 第一章 集合与简易逻辑
　　一、基础知识
　　定义1  一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 在集合A中，称 属于A，记为 ，否则称 不属于A，记作 。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种 
　　集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}， 分别表示有理数集和正实数集。
　　定义2  子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为 ，例如 。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
　　定义3  交集， 
　　定义4  并集， 
　　定义5  补集，若 称为A在I中的补集。
　　定义6  差集， 。
　　定义7  集合 记作开区间 ，集合
　　记作闭区间 ，R记作 
　　定理1  集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
　　（1）  （2） ；
　　（3）  （4） 
　　【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
　　（1）若 ，则 ，且 或 ，所以 或 ，即 ；反之， ，则 或 ，即 且 或 ，即 且 ，即 
　　（3）若 ，则 或 ，所以 或 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，反之也有 
　　定理2  加法原理：做一件事有 类办法，第一类办法中有 种不同的方法，第二类办法中有 种不同的方法，…，第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事一共有 种不同的方法。定理3  乘法原理：做一件事分 个步骤，第一步有 种不同的方法，第二步有 种不同的方法，…，第 步有 种不同的方法，那么完成这件事一共有 种不同的方法。
　　二、方法与例题
　　1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
　　例1  设 ，求证：
　　（1） ；
　　（2） ；
　　（3）若 ，则 
　　2．利用子集的定义证明集合相等，先证 ，再证 ，则A=B。
　　例2  设A，B是两个集合，又设集合M满足
　　，求集合M（用A，B表示）。
　　3．分类讨论思想的应用。
　　例3   ，若 ，求 
　　4．计数原理的应用。
　　例4  集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若 ，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。