《数学奥赛辅导第四讲不定方程》教案

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　　约3960字 数学奥赛辅导 第四讲 不定方程
　　知识、方法、技能
　　不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.
　　Ⅰ. 几类不定方程
　　1．一次不定方程
　　在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程
　　
　　通常称之为二元一次不定方程.
　　一次不定方程解的情况有如下定理.
　　定理一：二元一次不定方程
　　为整数.
　　有整数解的充分必要条件是 .        ①
　　【证】必要性 设 是①的解，则有 .
　　设 
　　充分性 设 且 ，有 .因 ，则存在 ，使得
　　，
　　于是有 
　　所以 是①的解.
　　显然，当方程①有解时， . 则用 去除①的两端有
　　②
　　此时， 且②与①同解，因此，我们只须讨论 时方程①的解.
　　定理二：若 为①之一解，则方程①全部解为
　　. （t为整数）.
　　【证】设 为①的一解，则有
　　③
　　设 是①的任一解. 用①式减去③式有
　　.
　　因为 于是有 ，即 从而有 将此结果代入上式得 .即方程任一解都可以表示为 为整数）.
　　反之，若 是①的解，则容易验证 均是①的解. 从而定理得证.
　　2．沛尔 方程
　　二元二次不定方程本质上归结为（双曲型）方程
　　④
　　的研究，其中 都是整数， 且非平方数，而 .方程④的一个特殊情形
　　⑤
　　最为重要，也最为基础，这称为沛尔方程. 能够证明（本书不予讨论）方程⑤一定有无穷多组正整数解；又设 是⑤的正整数解 中使 最小的解，则⑤的全部正整数解由
　　⑥
　　给出.（n=1，2，…）