《高中数学竞赛讲义（7）——解三角形》教案

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　　约2640字 第七章  解三角形
　　一、基础知识
　　在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长， 为半周长。
　　1．正弦定理： =2R（R为△ABC外接圆半径）。
　　推论1：△ABC的面积为S△ABC= 
　　推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
　　推论3：在△ABC中，A+B= ，解a满足 ，则a=A.
　　正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC= ；再证推论2，因为B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于 [cos( -A+a)-cos( -A-a)]=  [cos( -a+A)-cos( -a-A)]，等价于cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为0< -A+a， -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得证。
　　2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA ，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
　　（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=       （1）
　　【证明】  因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos ，
　　所以c2=AD2+p2-2AD•pcos        ①
　　同理b2=AD2+q2-2AD•qcos ，      ②
　　因为 ADB+ ADC= ，
　　所以cos ADB+cos ADC=0，
　　所以q×①+p×②得
　　qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 
　　注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式 
　　（2）海伦公式：因为 b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)=  b2c2  [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
　　这里 
　　所以S△ABC=  
　　二、方法与例题
　　1．面积法。
　　例1  （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足 ，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0,  )，则P，Q，R的共线的充要条件是
　　
　　2．正弦定理的应用。
　　例2 △ABC内有一点P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。
　　求证：AP•BC=BP•CA=CP•AB。
　　例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PA BC。
　　3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
　　例4  在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
　　4．三角换元。
　　例5  设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求 的最大值。
　　例6  在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc< 
　　三、基础训练题
　　1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB= ，则cosAcosB的最大值为__________.
　　2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则 的取值范围是__________.
　　3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+ tanCtanB，则△ABC的面积为__________.
　　4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则 =__________.
　　5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.
　　6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.
　　7．在△ABC中，sinA= ，cosB= ，则cosC=__________.