求递推数列的通项公式的九种方法

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　　求递推数列的通项公式的九种方法
　　利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
　　一、作差求和法　　例1  在数列{ }中， , ，求通项公式 .
　　解：原递推式可化为： 则           
　　，……， 逐项相加得： .故 .
　　二、作商求和法
　　例2  设数列{ }是首项为1的正项数列，且 （n=1,2,3…），则它的通项公式是 =▁▁▁（2000年高考15题）
　　解：原递推式可化为：
　　=0     ∵  ＞0，    
　　则  ……，      逐项相乘得： ，即 = .
　　三、换元法
　　例3  已知数列{ }，其中 ，且当n≥3时， ，求通项公式 （1986年高考文科第八题改编）.
　　解：设 ，原递推式可化为：
　　是一个等比数列， ，公比为 .故 .故 .由逐差法可得： .
　　例4已知数列{ }，其中 ，且当n≥3时， ，求通项公式 。解 由 得： ，令 ，则上式为 ，因此 是一个等差数列， ，公差为1.故 .。
　　由于
　　又
　　所以 ，即
　　四、积差相消法
　　例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列 ， ， …， ，…满足  =       且 ，求 的通项公式.
　　解  将递推式两边同除以 整理得：
　　设 = ，则 =1， ，故有
　　⑴          ⑵
　　…    …     …    …
　　( )