剩余类造抽屉解证一类存在性竞赛题

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约2400字。

　　用剩余类造“抽屉”解证一类存在性竞赛题
　　任意整数除以 （ 是大于 的正整数）所得余数只有 种情形，即余数为 ，把被 除所得余数相同者归为一类，称为以 为模的一个剩余类．如：整数按除以 余 还是 ，分为奇数和偶数.又如,整数除以 ，余数只能是 这 种情况，我们可把所有整数按除以 后的余数分 类，即 型数， 型数， 型数( 是整数)．在数论中有一类存在性问题常可借助某正整数的剩余类构造“抽屉”给予解决，本文略举数例作剖析，旨在探索题型规律，总结解题方法．
　　1 直接以题中的已知数为模，获得作为“抽屉”的剩余类
　　例1从 到 的 个整数中，最多可以取出多少个数，使得这些数中没有两个数的差是 的倍数？
　　解 任何一个整数除以 的余数只能是： ，从这 类中各取一个数，这些数中没有两个数的差是 的倍数．故从 到 的 个整数中最多可以取出 个数，使得其中没有两个数的差是 的倍数．
　　例2求证：在任何 个整数中，总可以找到这样的 个数，它们的和是 的倍数．
　　分析 将模 的 个剩余类看作 个“抽屉”，分别放置形如 （ 是整数）的数．
　　证明 将所给的 个整数按照除以 的余数分为三类．
　　（1）如果每一类都不是空集，，那么在每类中分别取一个数，它们被 除的余数分别为 ，显然这三个数的和是 的倍数；
　　（2）如果这三类中有空集，那么在两个不空的类中必有某一类含有三个数，即必有三个数被 除的余数相同，这三个数的和是 的倍数．
　　因此，无论 个整数在模 的 个剩余类中如何分布，总能找到其和为 的倍数的三个数．
　　例3 任给 个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是 的倍数．
　　分析 首先考虑什么样的两个整数的和或差可被 整除.设两个整数 ,若 ,则 ；若 ,而 ,则 ,只有这两种情况.但是如果按整数除以 的余数造抽屉,就有十个抽屉,对于已知条件中给定的 个数无法应用抽屉原理,所以要考虑如何造 个抽屉.根据上面考虑的两个整数被 除的两种情况,可把余数之和等于 的并成 类,这样分为：余数为 的数，余数为 或 的数，余数为 或 的数，余数为 或 的数，余数为 或 的数，余数为 的数，共 类,恰好构成 个抽屉.
　　证明 按照除以 的余数构造上述 个抽屉，这样任给的7个整数按照除以 的余数 ,放入6个抽屉中,必有1个抽屉中至少有两个数.这两数的和或差必是 的倍数.