《平面向量的基本定理》教学设计

约3460字。

　　平面向量的基本定理
　　一、         内容与内容解析
　　本节内容的核心是平面向量的基本定理，涉及到的概念有向量的基底、向量的夹角、向量垂直、向量的正交分解、向量的坐标表示等。
　　平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。它表明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示。这是引进平面向量基本定理的一个原因。
　　平面向量的正交分解是平面向量基本定理的简单应用，同时为平面向量的坐标表示奠定基础，而通过向量的坐标表示则为向量作为沟通代数与几何的桥梁提供了有力的保障。
　　平面向量的基本定理通过一组基底，就可以将平面内的任一向量都能统一地用这组基底进行线性表示，从而将向量的运算归结为其系数之间的运算，即坐标运算，这就使向量成了沟通几何与代数的桥梁。显然这一知识不仅渗透了基本量的思想、数形结合的思想，也体现了化归思想的应用。在研究定理中的一些思想方法也具有典型的意义，如一维与二维的类比，特殊到一般的推广，数与形的相互表示等等。
　　二、         目标与目标解析
　　（1）了解平面向量基本定理及其意义。会根据给定基底作出和表示平面向量。
　　（2）了解平面向量夹角的概念，理解平面向量垂直的定义。
　　（3）会用平面向量基本定理解决简单问题。
　　（4）理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
　　(5)让学生经历平面向量基本定理的抽象概括过程，利用几何画板软件，通过学生自己的动手操作，使学生在“做”数学中亲历知识的建构过程，体验定理的内容及意义。
　　(6)放手让学生通过自主活动而得出结论，强化学生对知识形成过程的理解，正确表述探究得到的结论，培养学生的理性精神。
　　解析：
　　对于平面向量的基本定理，课标不要求学生掌握其严格证明，教学中注重结合图形的理解，让学生通过操作认知、直观感受等方式进行探究，遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律感知定理。
　　三、         教学问题诊断分析
　　学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。
　　但仅有向量的几何表示及几何运算，而不能化归为学生所熟悉的代数运算，向量的工具作用就被极大的削弱。而向量的基本定理就为这一想法奠定的坚实的基础。通过一组基底，就可以将平面内的任一向量都能统一地用这组基底进行线性表示，从而将向量的运算归结为其系数之间的运算，即坐标运算，这就使向量成了沟通几何与代数的桥梁。这也是学习基本定理的根本目的。