《函数的单调性和奇偶性》学案

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约1600字。
　　第十二课时 函数的单调性和奇偶性
　　【学习导航】
　　学习要求：
　　1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
　　2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
　　3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。
　　【精典范例】
　　一、利用函数单调性求函数最值
　　例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －.
　　(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
　　(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
　　思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
　　解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：
　　f(－x)= －f(x)，在R上任取x1<x2，
　　则x2－x1>0，
　　所以f(x2) －f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).
　　因为x1<x2，所以x2－x1>0。
　　又因为x>0时f(x)<0，
　　所以f(x2－x1)<0，即f(x2)<f(x1).
　　由定义可知f(x)在R上是减函数.
　　(2)因为f(x)在R上是减函数，
　　所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.
　　所以f(－3)最大，f(3)最小。
　　所以f(－3)= －f(3)=2
　　即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
　　二、复合函数单调性
　　例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。
　　思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.
　　解：设u=x2－2x－3，则y=.
　　因为u≥0，所以x2－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.
　　因为y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，
　　所以当x≥3时，y是x的增函数。
　　又当 x≤－1时，u是减函数，
　　所以当x≤－1时，y是x的减函数。
　　所以y=的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
　　证明略
　　三、利用奇偶性，讨论方程根情况
　　例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是(    )
　　A.4 B.2 C.0 
　　D.不知解析式不能确定
　　思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原