《分段函数》学案

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约1320字。
　　第九课时 分段函数
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　　分段函数
　　学习要求
　　1、了解分数函数的定义；
　　2、学会求分段函数定义域、值域；
　　3、学会运用函数图象来研究分段函数；
　　自学评价：
　　1、分段函数的定义
　　在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
　　2、分段函数定义域，值域；
　　分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
　　3、分段函数图象
　　画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
　　【精典范例】
　　一、含有绝对值的解析式
　　例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
　　(1)作出函数的图象。
　　(2)写出函数的定义域和值域。
　　【解】：
　　(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
　　所以已知函数可写为分段函数形式：
　　y=|x－1|+|x+2|=
　　在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）
　　(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，+∞）
　　二、实际生活中函数解析式问题
　　例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
　　【解】：
　　先考虑由甲地到乙地的过程：
　　0≤t≤2时， y=6t
　　再考虑在乙地耽搁的情况：
　　2<t≤3时， y=12
　　最后考虑由乙地返回甲地的过程：
　　3<t≤6时， y=12－4(t－3)
　　所以S(t)=
　　函数图象（略）
　　点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
　　三、二次函数在区间上的最值问题
　　例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
　　(1)求g(a)的函数表达式
　　(2)求g(a)的最大值。
　　【解】：
　　对称轴x=
　　得g(a)
　　利用分段函数图象易得：g(a)max=3