《方程理论及应用》教案

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约1050字。

　　方程理论及应用
　　一． 一元一次同余方程
　　1． 形式： 不能整除  ………………（1）
　　2． 讨论  的解
　　分析：1）
　　设 是模m的完系，因为 ，所以 也是模m的完系。因此，其中必有且只有一个树与零同余，即 ，即（1）有唯一解。
　　由（1）得： ，由欧拉定理知： ，所以 
　　2） ＞1
　　设（1）有解，则d︱b；反过来，设d︱b，因为 ，所以 ……（2）有解，所以（1）有解。所以，（1）和（2）是等价的。下面求（2）的解即可。但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。
　　设（2） 的唯一解为： ，则所以形如 （t为任意整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m不同余的数就是（1）的所有解。
　　因为当 ……（3）时，有 ，所以 ；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是
　　因此，在所有形如 的数中只要t取关于模d不同余的数，所得到的数就关于模m不同余，所以 就是（1）的所有解。
　　定理1  一元一次同余方程中，
　　当 ，有唯一解，
　　＞1， 有解 d︱b， ， 其中 是 的唯一解。
　　定理2 （中国剩余定理）设 两两互质，
　　则同余方程组        （4）
　　对于模 有唯一解：
　　其中： ，
　　二． 二元一次不定方程。
　　1． 形式：
　　2．定理： 有解  ︱c