《初等几何变换》教案

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约730字。

　　初等几何变换（一）
　　基础知识：
　　平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。
　　一、 平移变换
　　1． 定义  设 是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得 = ，则T叫做沿有向线段 的平移变换。记为X X'，图形F F'  。
　　2．主要性质  在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
　　二、 轴对称变换
　　1． 定义  设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X'，使得X与X'关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为X X'，图形F F'  。
　　2． 主要性质  在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
　　例题：
　　【例1】     P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。
　　求证：∠PBA=∠PDA。
　　【例2】 如图左：线段AA′,BB′,CC′交于点O，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。
　　求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<