《集合与函数》的概念、重难点解析

约7620字。

　　《集合与函数》的概念、重难点解析
　　第一章 课文目录
　　1.1 集合
　　1.2 函数及其表示
　　1.3 函数的基本性质
　　【重点】
　　1、集合的基本概念与表示方法；子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。集合的交集与并集的概念；集合的全集、补集的概念；
　　2、理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
　　3、区间的概念，求函数的定义域和值域；
　　4、函数的三种表示方法，分段函数的概念；
　　5、映射的概念；
　　6、函数的单调性及其几何意义；
　　7、函数的最大（小）值及其几何意义；
　　8、函数的奇偶性及其几何意义；
　　【难点】
　　1、运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；集合的交集与并集 “是什么”，“为什么”，“怎样做”； 集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题；
　　2、符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
　　3、根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象；
　　4、利用函数的单调性求函数的最大（小）值；
　　6、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性；
　　7、判断函数的奇偶性的方法与格式.
　　一、集合的含义与表示
　　1．集合的含义
　　（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
　　说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
　　（2）表示方法：集合通常用大括号{  }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
　　注意：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征.
　　确定性是指构成集合的元素具有明确的特征，而某一元素在集合A中或不在集合A中二者必居其一，能够明确的区分,不能模棱两可.
　　互异性是指集合中不同的字母表示不同的元素，而同一元素在集合中不能重复.
　　无序性是指集合的构成与元素的顺序无关，构成集合的元素相同而仅排列的顺序不同应认为是同一个集合.
　　2、集合的表示方法
　　（一）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.
　　说明：
　　(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；
　　(2)一般不必考虑元素之间的顺序；
　　(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
　　(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；
　　（二）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。
　　表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x A；若x A,则x具有性质p。
　　说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；
　　(2)应防止集合表示中的一些错误。
　　3、文氏图
　　集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：
　　画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：