《函数与方程》教案

约2860字。

　　课题：§1函数与方程
　　1.1  利用函数性质判定方程解的存在
　　教学目标：
　　1. 知识与技能：
　　⑴正确认识函数与方程的关系，求方程f(x)=0的实数解就是求函数f(x)的零点，体会函数知识的核心作用。
　　⑵能够利用函数的性质判定方程解的存在性。
　　2. 过程与方法：在利用函数性质判定方程解的存在的学习中领会数形结合、化归等数学思想.
　　3. 情感、态度、价值观：通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使学生体会数学不同内容之间的内在联系。
　　教学重点和难点：
　　重点：理解函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.   
　　难点：连续函数在某个区间上存在零点的判定方法的深入理解与初步应用.
　　教学方法；
　　采用学导式、启发式和观察探索法相结合的方法。
　　教学设计：
　　一、问题引入
　　一元一次方程 x-1=0的根和相应的一次函数f(x)=x-1的图象与x轴交点横坐标有何关系？
　　一元二次方程 x2-x-6=0的根和相应的二次函数f(x)= x2-x-6的图象与x轴交点横坐标有何关系？
　　二、探究新知
　　问题探究1：方程f(x)=0的根和函数y=f(x) 的图象与x轴交点横坐标有何关系？
　　答：方程f(x)=0的根=函数y=f(x)的图象与x轴交点横坐标
　　注：①函数的零点：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点；
　　②函数的零点不是一个点而是一个实数，当函数自变量取这个实数时，函数值为零；
　　③等价关系：
　　方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与 轴有交点 函数y=f(x)有零点；
　　方程f(x)=0实数解的个数=函数y=f(x)的零点个数；
　　方程f(x)=g(x)实数解的个数=函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数。
　　问题探究2：所有函数都有零点吗？请举例说明。
　　答：不是所有函数都有零点，例如： ，
　　问题探究3：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？
　　定理：若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)•f(b)<0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解。
　　问题探究4: 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述结论成立吗？请举例说明。
　　答：不一定成立。