《指数函数与对数函数》学案

约3530字。

　　指数函数与对数函数
　　典例1：设 是定义在R上的函数.
　　（1）f（x）可能是奇函数吗？
　　（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.
　　解  (1)方法一 假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,
　　∴f（-x）=-f（x）,即  整理得
　　即 即a2+1=0,显然无解.∴f（x）不可能是奇函数.
　　方法二  若f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0,即
　　∴f(x)不可能是奇函数.
　　(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),即 整理得 又∵对任意x∈R都成立，∴有 得a=±1.
　　当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2∈R且x1<x2,
　　当 f(x1)<f(x2),f(x)为增函数,
　　此时需要x1+x2>0，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.
　　当a=-1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.
　　典例2：已知函数 
　　(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；
　　(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.
　　(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.
　　(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.
　　典例3：已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1)，如果对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.
　　解  当a>1时，对于任意x∈[3，+∞),都有f(x)>0.所以,|f(x)|=f(x),
　　而f(x)=logax在[3，+∞)上为增函数，∴对于任意x∈[3，+∞),有f(x)≥loga3.     
　　因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立.
　　只要loga3≥1=logaa即可，∴1<a≤3.          6分
　　当0<a<1时，对于x∈[3，+∞),有f(x)<0,
　　∴|f(x)|=-f(x).                            8分
　　∵f（x）=logax在[3，+∞)上为减函数，
　　∴-f（x）在[3，+∞)上为增函数.
　　∴对于任意x∈[3，+∞)都有
　　|f(x)|=-f(x)≥-loga3.                     10分