《根式与分数指数幂》教学案例

约3680字。
　　教学案例：根式与分数指数幂
　　厦门市集美区灌口中学  吴清平
　　背景
　　在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的： 和 ，教材中是通过实例引入并给出定义：
　　如果 ，那么x叫做a的n次方根。
　　如果 ，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 。
　　当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。
　　“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？
　　解决策略
　　当我们重新回忆“ ”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：
　　古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为x，既然 ，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了 ，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。
　　那么，“ ”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚： 是一个数，它的平方等于2！由此，“ ”也是一个数，它的n次方等于a！
　　更进一步， 是什么呢？由 知 ，故 也是一个数（对数），a的 次方等于N。
　　如此，则 及 便不难理解了。
　　于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：
　　（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。
　　（2）数学符号是学习数学的一大难点，若不能引起足够的重视，则学生便常常会把符号混用，导致知识的缺陷。重视数学符号的功能，更应讲清它的来龙去脉，帮助学生在有意义的学习中轻松记忆相关内容。