《平面向量的数量积及其运算律》教案

　　约1630字
     平面向量的数量积及其运算律
　　导学目标
　　1． 理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质。
　　2． 通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。
　　3． 通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探求新知识以及合作交流的学习品质。
　　导学重点
　　平面向量的数量积
　　导学难点
　　向量数量积的运算及其性质
　　导学过程
　　一、 导入
　　我们已经学习了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
　　联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
　　问题 物理学中的“功”是通过什么方法计算出来的？
　　通过对物理公式
　　
　　（其中 是F与 的夹角）的分析，得到如下结论：
　　（1）功 是两个向量 和 的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量；
　　（2）功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力 与位移 的夹角有关。
　　由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算。
　　二、 导疑、导研
　　问题 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（学生讨论）
　　平面向量的数量积
　　（1） 最初的认识
　　学生讨论：如把力 和位移 抽象地看成两个“向量”，把力 与位移 的夹角 抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量 得到一个数量（即 ）的运算，这里 是向量 的夹角。
　　（2） 进一步表述
　　引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：
　　已知两个向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 和 的数量积（或内积），记作 ，即 = 。
　　两个向量的夹角
　　问题 在上面的向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？
　　从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，得到下面的结论：
　　对于两个非零向量 和 ，作 ，则 （ ）叫