《数学奥赛辅导第一讲：奇数、偶数、质数、合数》教案

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　　约2700字 数学奥赛辅导     第一讲      
　　奇数、偶数、质数、合数
　　知识、方法、技能
　　Ⅰ.整数的奇偶性
　　将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.奇、偶数具有如下性质：
　　（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；
　　奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；
　　奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
　　（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）.
　　（3）任何一个正整数n，都可以写成 的形式，其中m为非负整数，l为奇数.
　　这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.
　　Ⅱ.质数与合数、算术基本定理
　　大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.
　　一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.
　　显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.
　　定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A可以写成标准分解式：
　　（*）.
　　其中 为质数， 为非负整数，i=1，2，…，n.
　　【略证】由于A为一有限正整数，显然A经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.
　　设另有 为质数， 为非负整数，j=1，2，…，m.由于任何一 必为 中之一，而任一 也必居 中之一，故n=m.又因
　　，再者，若对某个i， （不妨设 ），用 除等式 两端得：