《高中数学竞赛教案讲义（17）——整数问题》教案

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　　约1100字 第十七章  整数问题
　　一、常用定义定理
　　1．整除：设a,b∈Z,a≠0，如果存在q∈Z使得b=aq，那么称b可被a整除，记作a|b，且称b是a的倍数,a是b的约数。b不能被a整除，记作a   b.
　　2   带余数除法：设a,b是两个给定的整数，a≠0，那么，一定存在唯一一对整数q与r，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b。 3．辗转相除法：设u0,u1是给定的两个整数，u1≠0，u1  u0,由2可得下面0=q0u1+u2,0<u2<|u1|；
　　u1=q1u2+u3,0<u3<u2；
　　u2=q2u3+u4,0<u4<u3；
　　…
　　uk-2=q1+uk-1；
　　uk-1=qk+1,0<uk；
　　uk+1.
　　4．由3可得：（1）u0,u1)；（2）d|u0且d|u1的充要条件是d|uk+1；（3）存在整数x
　　0,x1，使u0+x1u1.
　　5．算术基本定理：若n>1且n为整数，则 ，其中pj(j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
　　6．同余：设m≠0,若m|(a-b)，即a-b=km，则称a与b模同m同余，记为a≡b(modm)，也称b是a对模m的剩余。
　　7．完全剩余系：一组数y1,y2,…,ys满足：对任意整数a有且仅有一个yj是a对模m的剩余，即a≡yj(modm)，则y1,y2,…,ys称为模m的完全剩余系。
　　8．Fermat小定理：若p为素数，p>a,(a,p)=1，则ap-1≡1(modp)，且对任意整数a,有ap≡a(modp).
　　9．若(a,m)=1，则 ≡1(modm), (m)称欧拉函数。
　　10．（欧拉函数值的计算公式）若 ，则 (m)= 
　　11．（孙子定理）设m1,m2,…,mk是k个两两互质的正整数，则同余组：
　　x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解，
　　x≡ M1b1+ M2b2+…+ Mkbk(modM)，
　　其中M=m1m2mk； = ，i=1,2,…,k； ≡1(modmi),i=1,2,…,k.
　　二、方法与例题
　　1．奇偶分析法。
　　例1  有n个整数，它们的和为0，乘积为n，（n>1），求证：4|n。
　　2．不等分析法。
　　例2  试求所有的正整数n，使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整数解。
　　3．无穷递降法。
　　例3  确定并证明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解。
　　4．特殊模法。
　　例4  证明：存在无穷多个正整数，它们不能表示成少于10个奇数的平方和。
　　5．最小数原理。
　　例5  证明：方程x4+y4=z2没有正整数解。
　　6．整除的应用。
　　例6  求出所有的有序正整数数对(m,n)，使得 是整数。