《高中数学竞赛教案讲义（11）——圆锥曲线》教案

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　　约8130字 第十一章  圆锥曲线
　　一、基础知识
　　1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).
　　第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即
　　(0<e<1).
　　第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
　　2  椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为
　　(a>b>0)，
　　参数方程为 （ 为参数）。
　　若焦点在y轴上，列标准方程为
　　(a>b>0)。
　　3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
　　，
　　a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 ，与右焦点对应的准线为 ；定义中的比e称为离心率，且 ，由c2+b2=a2知0<e<1.
　　椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
　　4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
　　5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为
　　；
　　2）斜率为k的切线方程为 ；
　　3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
　　。
　　6．双曲线的定义，第一定义：
　　满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹；
　　第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
　　7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
　　，
　　参数方程为 （ 为参数）。
　　焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
　　。
　　8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
　　(a, b>0),
　　a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为 离心率 ，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为 ，双曲线 与 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。
　　9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 ，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的