《高中数学竞赛教案讲义（16）——平面几何》教案

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　　约1560字 第十六章  平面几何
　　一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）
　　梅涅劳斯定理  设 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若 三点共线，则
　　梅涅劳斯定理的逆定理  条件同上，若 则 三点共线。
　　塞瓦定理  设 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若 三线平行或共点，则  w.w.塞瓦定理的逆定理  设 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若 则 三线共点或互相平行。
　　角元形式的塞瓦定理   分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则 平行或共点的充要条件是 
　　广义托勒密定理  设ABCD为任意凸四边形，则AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
　　斯特瓦特定理  设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有
　　AP2=AB2• +AC2• -BP•PC.
　　西姆松定理  过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
　　西姆松定理的逆定理  若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。
　　九点圆定理  三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。
　　蒙日定理  三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）
　　欧拉定理  ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 
　　二、方法与例题
　　1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。
　　例1  在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。
　　2 面积法。
　　例2 ◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。
　　3．几何变换。
　　例3  （蝴蝶定理）AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。