2017年秋季高三数学（文科）暑假讲义：解析几何解答题点拨

约4200字。

　　考点：向量相关转化
　　【例1】设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆的长轴长为 ，且点 在该椭圆上．
　　（ ）求椭圆的方程．
　　（ ）设 为直线 上不同于点 的任意一点，若直线 与椭圆相交于异于 的点 ，证明： 为钝角三角形．
　　【解析】（ ）椭圆方程为 ．
　　（ ）由（ ）知： ， ．依题意知直线 斜率存在且不为 ，
　　设直线 的方程为：  ．则点 坐标为 ．
　　由 ，消去 得 ．所以点 的纵坐标 ，
　　则 ．
　　所以点 坐标为 ．
　　从而 ， ．
　　所以 ．
　　又 ， ， 三点不共线，所以 为钝角．
　　所以 为钝角三角形．
　　【点评】两直线夹角公式的知识点不再作要求以后，涉及到平面几何中的角度问题（包括立体几何也是），解析几何中只有一种工具来处理，这就是利用向量内积的定义： （余弦定理与其等价）．本题中要证明 为钝角三角形，实质上就是要在平面几何中证明某两条边所夹的角为钝角，也就是在解析几何中证明这两条边构成的向量的内积为负．具体是哪两条边可以通过观察法和特殊值法先判断．
　　【例2】已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，且点 在椭圆 上．
　　（ ）求椭圆 的标准方程．
　　（ ）已知点 ，动直线 过点 ，且直线 与椭圆 交于 、 两点，证明： 为定值．
　　【解析】（ ）椭圆 的标准方程为 ．
　　（ ）当直线 的斜率为 时， ， ．
　　则 ．
　　当直线 的斜率不为 时，设直线 的方程为： ， ， ．
　　由 可得： ．
　　显然 ． ， ，
　　所以
　　．
　　综上：即 为定值．
　　【例3】在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，焦距为 ， 是椭圆上一动点， 的面积最大值为 ．
　　（ ）求椭圆的标准方程．
　　（ ）过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 ，若 ， ，求证： 为定值．
　　【解析】（ ）椭圆方程为 ．
　　（ ）依题意，直线 斜率存在，
　　若直线 的斜率为 ，则 ， ， ，
　　于是有 ， ，于是 ．
　　当 斜率不为 时，设直线方程为  ． ， ．
　　则点 ，点 ，
　　， ，且 ，则 ，