《点、直线、平面之间的位置关系》章末归纳提升教案

约5030字。

　　第二章  点、直线、平面之间的位置关系  章末归纳提升
　　点、线、面的位置关系
　　空间中直线与直线的位置关系包括相交、平行和异面三种位置关系，其中异面直线的判断是学习的重难点之一；空间中直线与平面的位置关系包括直线在平面内、直线与平面平行及直线与平面相交三种位置关系，其中直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外，这是本章学习的易错点之一；
　　空间中平面与平面具有相交、平行两种位置关系．另外学习中应体会公理1、2、3、4在处理点、线、面位置关系中的作用，掌握好“点共线”、“线共点”等问题的求解策略．
　　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
　　求证：(1)E、F、G、H四点共面；
　　(2)EG与HF的交点在直线AC上．
　　【思路点拨】　(1)利用三角形的中位线性质及公理4证明EF∥GH便可．
　　(2)先证明EG与HF相交，再说明交点落在平面ABC与平面ACD的交线上．
　　【规范解答】　(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.
　　∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．
　　(2)∵G，H不是BC，CD的中点，∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形．
　　∴EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，
　　∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，
　　∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上．
　　正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M.求证：点C1、O、M共线．
　　【证明】　如图，因为A1A∥C1C，所以直线A1A，C1C确定平面A1C.
　　因为O∈A1C，A1C⊂平面A1C，所以O∈平面A1C.
　　因为平面BC1D∩直线A1C＝O，所以O∈平面BC1D，
　　所以O在平面A1C与平面BC1D的交线上．
　　因为AC∩BD＝M，所以M∈平面BC1D，且M∈平面A1C.
　　所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M.所以O∈C1M.即O、C1、M三点共线.
　　空间中的平行关系
　　在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．