圆的方程、直线和圆的位置关系复习教案

约3050字。

　　圆的方程、直线和圆的位置关系
　　【知识要点】
　　一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
　　（一）圆的标准方程
　　这个方程叫做圆的标准方程。
　　说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时 ，则圆的方程就是 。
　　2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 三个量确定了且 ＞0，圆的方程就给定了。
　　就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定 ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
　　（二）圆的一般方程
　　将圆的标准方程 ,展开可得 。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :
　　问题：形如 的方程的曲线是不是圆？
　　将方程 左边配方得：  
　　（1）当 ＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程 表示以 为圆
　　心，以 为半径的圆。 ,
　　（3）当 ＜0时，方程 没有实数解，因而它不表示任何图形。
　　圆的一般方程的定义：
　　当 ＞0时，方程 称为圆的一般方程.
　　圆的一般方程的特点：
　　（1） 和 的系数相同，不等于零；
　　（2）没有xy这样的二次项。
　　（三）直线与圆的位置关系
　　1、直线与圆位置关系的种类
　　（1）相离---求距离；           (2)相切---求切线；        （3）相交---求焦点弦长。
　　2、直线与圆的位置关系判断方法：
　　几何方法主要步骤：
　　（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径
　　（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
　　（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
　　代数方法主要步骤：
　　（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组
　　（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
　　（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：
　　（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0时，直线与圆相交。
　　【典型例题】
　　类型一：圆的方程
　　例1 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点 与圆的关系．
　　变式1：求过两点 、 且被直线 平分的圆的标准方程.
　　变式2：求过两点 、 且圆上所有的点均关于直线 对称的圆的标准方程.
　　分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
　　解法一：（待定系数法）
　　设圆的标准方程为 ．∵圆心在 上，故 ．∴圆的方程为 ．
　　又∵该圆过 、 两点．∴    解之得： ， ．
　　所以所求圆的方程为 ．