《函数的单调性》复习教案

约3050字。

　　第二章  函数与基本初等函数Ⅰ
　　2．3  函数的单调性
　　一．要点集结
　　1.单调性的概念
　　如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,①都有        ,则称f(x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个            ；②都有            ,则称f(x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个            .
　　若函数f(x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为       .
　　2．判断单调性的方法：
　　(1)定义法,其步骤为：①           ；②          ；③            .
　　(2)导数法,若函数y＝f(x)在定义域内的某个区间上可导,①若              ,则f(x)在这个区间上是增函数；②若            ,则f(x)在这个区间上是减函数.
　　基础自测
　　1．若函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋8在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
　　[解析] 由题意知：函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋8的单调减区间为(－∞，(1＋a)]，又函数在(－∞，4]上为减函数，所以有4≤1＋a，解得a≥3.
　　2．函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调增区间为________．
　　[解析] 由题意知x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5，即函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，根据外函数为单调增函数，而内函数u＝x2－4x－5＝(x－2)2－9在(5，＋∞)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，＋∞).
　　3. 若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
　　[解析]令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0.
　　∴a2≤2，4－2a＋3a>0，∴－4<a≤4.
　　4. 若函数y＝lnx－ax的增区间为(0,1)，则a的值是________．
　　[解析] 由条件可知，y′＝1x－a>0的解集为(0,1)，可知a＝1.
　　5．证明：f(x)＝x＋1x在(－∞，－1)上是增函数．
　　[证明]　设x1，x2是(－∞，－1)内的任意两个不相等的负实数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，
　　Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(x1x2－1)x1x2，
　　∵x1<x2<－1，∴x1x2>1>0.
　　∴x1x2－1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.
　　所以f(x)＝x＋1x在(－∞，－1)上是增函数．
　　二．考点探究
　　考点1.函数单调性的判定
　　例1.已知函数f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,求实数a的取值范围.
　　解:当0<a<1时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,则
　　a3123(12)2-2a12>0,解得0<a<34.
　　当a>1时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,则