《空间向量解立体几何问题》学案

约4160字。

　　空间向量解立体几何问题
　　学习过程
　　一、课前准备
　　（预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）
　　复习1：                可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
　　复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
　　复习3：设a＝ ，b＝ ，
　　a•b＝         
　　二、新课导学
　　※ 学习探究
　　探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面
　　问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
　　新知：
　　⑴ 点：在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点 的位置向量.
　　⑵ 直线：
　　① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
　　② 对于直线 上的任一点 ,存在实数 ，使得 ，此方程称为直线的向量参数方程.
　　⑶ 平面：
　　① 空间中平面 的位置可以由 内两个不共线向量确定.对于平面 上的任一点 , 是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对 ,使得 .
　　② 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
　　⑷ 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量 垂直于平面 ,记作 ⊥ ，那 么向量 叫做平面 的法向量.
　　试试： .
　　1.如果 都是平面 的法向量，则 的关系           .
　　2.向量 是平面 的法向量，向量 是与平面 平行或在平面内，则 与 的关系是       .
　　反思：
　　1. 一个平面的法向量是唯一的吗？
　　2. 平面的法向量可以是零向量吗？
　　⑸ 向量表示平行、垂直关系：
　　设直线 的方向向量分别为 ，平面  的法向量分别为 ，则
　　①  ∥   ∥ 
　　②  ∥    
　　③  ∥   ∥ 
　　※ 典型例题
　　例1 已知两点 ,求直线AB
　　与坐标平面 的交点.
　　变式：已知三点  ,点 在 上运动（O为坐标原点）,求当 取得最小值时,点 的坐标.
　　小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
　　例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.