平行和垂直的综合应用学案

约3090字。

　　第12课时　平行和垂直的综合应用
　　1.综合应用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理解决空间几何中的平行与垂直问题.
　　2.培养学生的空间识图能力和空间想象能力,会根据题意构造辅助线将问题进行转化,提高学生的逻辑推理能力和计算能力.
　　通过前面几节课的学习,我们认识了空间中的点、线、面的位置关系,学习了空间几何中的线面平行和垂直的判定定理和性质定理、面面平行和垂直的判定定理和性质定理,了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,并能进行一些简单的线面角和二面角的计算,这节课我们将探究空间中平行和垂直的综合性问题,提高空间几何的想象能力和解决综合性问题的方法技巧.
　　问题1:平行综合问题的转化方法和技巧
　　(1)利用线面平行的判定定理可以把线面平行问题转化为　线线平行　问题,利用面面平行的判定定理可以把面面平行问题转化为　线面平行　问题;
　　(2)利用线面平行的性质定理可以利用线面平行推导　线线平行　,利用面面平行的性质定理可以利用面面平行推导　线面平行　;
　　(3)线线平行是把立体几何中的平行问题转化为平面几何中的平行问题的中转站,在平面几何中证明线线平行的常用方法有:　定义法(即平面中没有公共点的两条直线是平行线)　、　三角形中位线定理　、　三角形分线段成比例定理　、　特殊四边形的性质　.
　　问题2:垂直综合问题的转化方法和技巧
　　(1)利用线面垂直的判定定理可以把线面垂直问题转化为　线线垂直　问题,利用面面垂直的判定定理可以把面面垂直问题转化为　线面垂直　问题;
　　(2)利用线面垂直的性质定理可以利用线面垂直推导　线线垂直　,利用面面垂直的性质定理可以利用面面垂直推导　线面垂直　;
　　(3)线线垂直是把立体几何中的垂直问题转化为平面几何中的垂直问题的中转站,在平面几何中证明线线垂直的常用方法有:　勾股定理　、　等腰三角形三线合一定理　、　特殊四边形的性质　.
　　问题3:平行问题与垂直问题的相互转化
　　(1)垂直同一平面的两条直线平行,即　a⊥α,b⊥α⇒a∥b　;
　　(2)与平面的垂线平行的直线也垂直这个平面,即　a⊥α,a∥b⇒b⊥α　;
　　(3)垂直同一直线的两个平面平行,即　a⊥α,a⊥β⇒α∥β　;
　　(4)与平面的垂线平行的平面也垂直这个平面,即　a⊥α,a∥β⇒α⊥β　;
　　(5) 与平面的垂直平面平行的平面也垂直这个平面,即　a⊥β,β∥γ⇒a⊥γ　.
　　问题4:垂直问题与平行问题的常见错误命题归类
　　(1)垂直同一平面的两个平面平行,即　α⊥β,β⊥γ⇒α∥γ　;
　　(2)垂直同一平面的两个平面垂直,即　α⊥β,β⊥γ⇒α⊥γ　;
　　(3)平行同一直线的两个平面平行,即　a∥α,a∥β⇒α∥β　; 
　　(4)平行同一平面的两个直线平行,即　a∥α,b∥α⇒α∥b　.
　　1.如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直,那么直线l与平面α的位置关系是(　　).
　　A.l⊂α　　　　　 B.l⊥α C.l∥α D.l⊂α或l∥α
　　2.已知a,b,c是直线,α,β是平面,下列条件中,能得出直线a⊥平面α的是(　　).
　　A.a⊥c,a⊥b,其中b⊂α,c⊂α B.a∥b,b⊥α
　　C.α⊥β,a∥β D.a⊥b,b∥α
　　3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是　　　　.
　　4.已知直线l⊥平面α,垂足为A,直线AP⊥l.
　　求证:AP在α内.
　　棱柱中的平行问题与垂直问题
　　已知,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,M,F分别是AD,CD,CC1的中点,