《空间向量与立体几何》教案

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约2450字。

　　空间向量与立体几何复习指津
　　在引入空间向量后，许多空间问题（如空间角、空间距离等）的求解，已经从传统的“作———证———算”转化为，将所求问题表示为向量的闭回路（课本称为“封口向量”），然后利用数量积求解，即已从传统意义上的几何方法转向以空间向量为媒介的代数运算．特别是法向量的应用，更是大大拓展了求解空间问题的思路！现对《空间向量与立体几何》一章予以简单梳理，供同学们复习参考．
　　一、空间向量的线性运算
　　1．空间向量的概念
　　空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．
　　2．空间向量的加法、减法和数乘运算
　　平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：
　　①交换律，即 ；②结合律，即  ；③分配律，即 及 （其中 均为实数）．
　　3．空间向量的基本定理
　　（１）共线向量定理：对空间向量  的充要条件是存在实数 ，使 ．
　　（２）共面向量定理：如果空间向量 不共线，则向量c与向量 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数 ，使  ．
　　（３）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使 ．其中 是空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底 惟一线性表示（线性组合）．
　　4．两个向量的数量积
　　两个向量的数量积是 ，数量积有如下性质：
　　① （e为单位向量）；② ；
　　③ ；④ ．
　　数量积运算满足运算律：①交换律，即 ；②与数乘的结合律，即 ；③分配律，即 ．