福建省2012届高考数学一轮经典例题：不等式证明

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　　福建省2012届高考数学一轮经典例题：不等式证明
　　典型例题一
　　例1  若 ，证明 （  且 ）．
　　分析1  用作差法来证明．需分为 和 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．
　　解法1 （1）当 时，
　　因为  ，
　　所以 
　　．
　　（2）当 时，
　　因为 
　　所以 
　　．
　　综合（1）（2）知 ．
　　分析2  直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．
　　解法2  作差比较法．
　　因为 
　　，
　　所以 ．
　　说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．
　　典型例题二
　　例2  设 ，求证：
　　分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．
　　证明：
　　∵ ，∴
　　∴ .  ∴ 
　　又∵ ，
　　∴ .
　　说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
　　典型例题三
　　例3 对于任意实数 、 ，求证 （当且仅当 时取等号）
　　分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有 ，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式： 出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
　　证明：∵  （当且仅当 时取等号）
　　两边同加 ，
　　即：                   （1）
　　又：∵   （当且仅当 时取等号）
　　两边同加
　　∴ 
　　∴                  （2）
　　由（1）和（2）可得 （当且仅当 时取等号）．
　　说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．
　　典型例题四
　　例4 已知 、 、 ， ，求证
　　分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如 ，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．
　　证明：∵
　　∴  
　　∵ ，同理： ， 。
　　∴ 
　　说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．
　　典型例题五