福建省2012届高考数学一轮经典例题：球

　　此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

约5130字。

　　福建省2012届高考数学一轮经典例题：球
　　典型例题一
　　例1．已知地球的半径为 ，球面上 两点都在北纬45 圈上，它们的球面距离为 ， 点在东经30 上，求 点的位置及 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．
　　分析：求点 的位置，如图就是求 的大小，只需求出弦 的长度．对于 应把它放在 中求解，根据球面距离概念计算即可．
　　解：如图，设球心为 ，北纬45 圈的中心为 ，
　　由 两点的球面距离为 ，所以 = ，
　　为等边三角形．于是 ．
　　由 ，
　　．即 = ．
　　又 点在东经30 上，故 的位置在东经120 ，北纬45 或者西经60 ，北纬45 ．
　　两点在其纬线圈上所对应的劣弧 ．
　　说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．
　　典型例题二
　　例2．用两个平行平面去截半径为 的球面，两个截面圆的半径为 ， ．两截面间的距离为 ，求球的表面积．
　　分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．
　　解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于 ，上述大圆的垂直于 的直径交 于 ，如图2．
　　设 ，则 ，解得 ．
　　．
　　说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．
　　典型例题三
　　例3．自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求 的值．
　　分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
　　解：以 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
　　= ．
　　说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
　　典型例题四
　　例4．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
　　分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
　　解：设球的半径为 ，正方体的棱长为 ，它们的体积均为 ，
　　则由 ， ，由 得 ．
　　．
　　．
　　，即 ．
　　说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．
　　典型例题五
　　例5．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
　　分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察 与 和棱长间的关系即可．
　　解：如图2，球心 和 在 上，过 ， 分别作 的垂线交于 ．