《函数与方程思想应用》复习教案

约3650字。

　　专题、函数与方程思想应用（1）
　　一、数学思想引领：
　　函数与方程思想是高中数学中一种很重要的数学思想，尤其体现在知识点相互渗透的结合中，因此在平时的学习或各种考试中同学们要熟悉这种思想的常见结合形式与处理问题的方法，并会通过一些模式来快速切入：
　　1、 函数和方程之间转化的考查：对于函数y＝f(x)，
　　转化一、当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0；
　　转化二、二元方程y－f(x)＝0。
　　反之，对于方程f(x)＝0或方程y－f(x)＝0，可记函数y＝f(x)，
　　2、函数背景储备：当从函数的角度来研究问题时，对某些抽象函数方程是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如 ， ， ，再如：函数 图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。
　　另外要重视并加强一些小结论形成过程的理解。例如：设函数 的定义域为 ，则有
　　①如 恒成立 函数 图像关于 对称；
　　②如 经过变换得到两函数 和 ，则所得两个函数图像关于 对称；
　　③如 恒成立 函数 是以 为周期的周期函数；
　　④如 恒成立 函数图像关于点 对称；
　　⑤如函数 的图像关于 对称，又关于 对称，则函数 一定是以 为一个周期的周期函数；
　　⑥如函数 的图像关于 对称，又关于点 对称，则函数 一定是以 为一个周期的周期函数；
　　3、函数与不等式之间相互转化的考查，对于函数y＝f(x)
　　当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；①例如对数列型不等式，一改数学归纳法的传统证法，巧用单调函数（数列），妙证不等式.这种证法的一般步骤是：要证 ，可构造 来证 是增函数，且 ；或构造 来证 是增函数，且 （其中 ）。②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立的问题。而对构造的新函数的求解要充分利用其性质与图象，对双勾函数的图象与性质的了解与掌握可大大简化求解思路。另要记住几个常见的有关不等式的恒成立的等价命题：
　　① 恒成立 ；② 恒成立
　　③ 有解 ；④ 有解 。对于“恒成立”的不等