《放缩法与构造法》教案

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约2320字。

　　活跃在高考中的两种证明不等式方法（放缩法与构造法）
　　近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
　　1、添加或舍弃一些正项（或负项）
　　例1、已知 求证：
　　证明：
　　若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 ，从而是使和式得到化简.
　　2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
　　例2、函数f（x）= ，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+ .
　　证明：由f(n)=  =1-
　　得f（1）+f（2）+…+f（n）>
　　.
　　此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
　　3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
　　例3、已知an=n ，求证：（1）证明：
　　（2）∑nk=1 k a2k  ＜3．