《等差数列》复习教案

约5140字。

　　《等差数列》复习教案
　　【基础知识精讲】
　　1.基础知识图表
　　2.等差数列的定义
　　用文字表达，等差数列的定义是：数列中从第二项起，每一项减去它前一项，所得的差相等.用递推关系表示，即an+1-an=d(常数)，这也是证明或判断一个数列是等差数列的依据.
　　3.等差数列的通项公式
　　在等差数列中，a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d，…，可以归纳出an=a1+(n-1)d.另一方面，也可以由an+1-an=d求出通项公式：
　　由于a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…an-an-1=d，将此n-1个等式相加，就可以得到an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.
　　有了通项公式，就可以由首项和公差求出等差数列中的任何一项.例如a1=3,d=2，则a10=a1+(10-1)d=3+9×2=21.其实，已知等差数列中的任意两项，也就可以确定等差数列中的任何一项.例如，已知a3=5,a5=9，求a10.最本质的方法是解方程组：，求出a1和d，这是因为等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,是n的一个不超过一次的函数：an=dn+(a1-d).在d≠0时an是n的一次函数，而一次函数，只需要两个确定的系数.
　　另一方面，如果数列｛an｝的通项公式an=3n+2，立即可以断定它是等差数列，这是因为an是n的一次函数.一般地，如果an=an+d，则由于an+1-an=［a(n+1)+d］-［an+d］=a,所以它一定是等差数列，而且公差d=a,而a1=a+d.
　　推导通项公式的方法
　　解法1：(归纳法)∵｛an｝是等差数列，则有.
　　a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,……
　　an=an-1+d=a1+(n-1)d
　　∴an=a1+ (n-1)d
　　解法2：(叠加法)：∵｛an｝是等差数列，则有
　　an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,……
　　a2-a1=d,左边加上左边.右边加上右边得an-a1=(n-1)d
　　∴an=a1+(n-1)d
　　解法3：(叠代法)：∵｛an｝是等差数列，则有
　　an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d
　　=……=a1+(n-1)d
　　∴an=a1+(n-1)d
　　解法4：(逐差法)，∵｛an｝是等差数列，则有
　　an=an-an-1+an-1,an-1=an-1-an-2+an-2，an-2=an-2-an-3+an-3
　　……，a2=a2-a1+a1
　　∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1
　　=(n-1)d+a1
　　∵an=a1+(n-1)d
　　4.等差数列的判定方法
　　①an+1-an=d(常数) ｛an｝是等差数列
　　②2an+1=an+an+2(n∈N+)｛an｝是等差数列