2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题

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共11题，约1070字。

　　2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
　　（考试时间：2010年9月4日上午10：00—11：20）
　　题号 一 二 合计
　　1 2 3 
　　得分     
　　评卷人     
　　复核人     
　　注意事项：
　　1.本试卷共二大题，全卷满分120分。
　　2.用圆珠笔或钢笔作答。
　　3.解题书写不要超出装订线。
　　4.不能使用计算器。
　　一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.
　　1.方程 在区间 上的实根个数为_________________.
　　2.设数列 的前 项和为 ，则满足不等式 的最小整数 是_________________.
　　3.已知 （ ， ）是常数，且 ， ， ， 是区间 内任意实数，则函数 的最大值等于_________________.
　　4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.
　　5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
　　6.设 是平面上一个定点， ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，其中 ，则点 的轨迹为_________________.
　　7.对给定的整数 ，符号 表示 中使 能被3整除的唯一值，那么 _________________.
　　8.分别以直角三角形的两条直角边 ， 和斜边 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为 ， ， ，则 与 的大小关系是_________________.
　　二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
　　1.（本小题满分16分）
　　是否存在实数 ，使直线 和双曲线 相交于两点 、 ，且以 为直径的圆恰好过坐标系的原点？
　　2.（本小题满分20分）
　　求证：不存在这样的函数 ，满足对任意的整数 ， ，若 ，则 .
　　3.（本小题满分20分）
　　设非负实数 ， ， 满足 ，求证：
　　2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
　　一、填空题
　　1.设 ，则 ，∵ ，∴ ，又 ，∴ ，即在区间 上单调递增，故方程 在区间 上有且只有一个实根.
　　2. 易知数列 是首项是 ，公比是 的等比数列，∴ ，于是  ，∵