《含参不等式恒成立问题》教案

约1260字。

　　高三专题复习 ——含参不等式恒成立问题的求解策略
　　【教学目标】
　　知识与技能：理解有关恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能．
　　过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．
　　情感、态度与价值观：通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦．
　　【教学重点与难点】
　　重点：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能．
　　难点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题．
　　【教学方法】 诱导探究法 
　　【教学手段】 多媒体辅助教学
　　【教学过程】
　　例题1   已知不等式 对 恒成立，其中 ．求实数 的取值范围．
　　分析：思路1、通过化归最值，直接求函数 的最小值解决，即 ；
　　思路2、通过分离变量，转化到 解决，即 ；
　　思路3、通过数形结合，化归到 作图解决，即 图像在 图像的上方．
　　简解：思路1、按对称轴 与区间 的关系分类讨论：当 时， ， ；当 时， ，此时 不存在；
　　当 时， ，此时亦 不存在．综上所述， 的取值范围是 ．
　　思路2、 ， ，得 ．    
　　思路3、图略．
　　思考       ，该如何处理？
　　小结：解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．
　　设计意图：从简单问题入手，让学生自己归纳与分析解题思路，最后提炼解决此问题的实质是解决函数的最值问题．
　　例题2   已知函数 ， ，其中 ， ．
　　（1）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
　　（2）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
　　分析：（1）思路、等价转化为函数 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．
　　（2）思路、对在不同区间内的两个函数 和 分别求最值，即只需满足 即可．
　　简解：（1）由 成立，只需满足 的最小值大于 即可．
　　对 求导， ，故 在 是增函数， ，
　　所以 的取值范围是 ．         （2）略.
　　例题3   设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立，求实数 的取值范围．
　　分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．
　　方法1：化归最值， ；
　　方法2：变量分离， 或 ；
　　方法3：变更主元， ，
　　简解：方法1:对 求导， ，
　　得 （极小值点）， （极大值点），故 增， 减， 减， 增．
　　由此可知， 在 上的最大值为 与 中的较大者．
　　，对于任意 ，得 的取值范围是 ．
　　方法2、3略.
　　设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例2是两个函数间的恒成立问题，例3是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．
　　思考  （2010年绍兴市一模数学试卷理第17题改编）
　　在区间 上满足不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
　　分析：利用数形结合思想，对函数 作图．
　　图解：
　　设计意图：通过对一模试卷第17题的改编，补充了有关区间变动所引起的恒成立问题，让学生重视解决这类问题，体现其考查的价值与意义．
　　【课堂小结】
　　通过今天这堂复习课，我们再次领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，通过化归到函数求其最值来处理．