圆锥曲线题型

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　　圆锥曲线题型
　　与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．
　　一、重、难、疑点分析
　　1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．
　　2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)
　　3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)
　　二、题型展示
　　1．圆锥曲线的弦长求法
　　设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A( )、B( )两点，则弦长|AB|为：
　　(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
　　例1 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线 与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角 ．
　　分析一：由弦长公式易解．解答为：
　　∵　 抛物线方程为x2=-4y，　 ∴焦点为(0，-1)．
　　设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
　　将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．
　　由|AB|=8得:    ∴
　　又有 得: 或 .
　　分析二:利用焦半径关系.∵
　　∴|AB|=-( +y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k( +x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．
　　2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
　　在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
　　例2已知 +4(y-1)2=4，求：(1) +y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．
　　解一：将 +4(y-1)2=4代入得： +y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
　　由点(x，y)满足 +4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
　　当y=0时，( +y2)min=0．
　　解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入 +4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．
　　令x+y=u， 则有x=u-y,代入 +4(y-1)2=4得：5 -(2u+8)y+ =0．
　　又∵0≤y≤2，(由(1)可知)   ∴[-(2u+8)]2-4×5× ≥0．