《函数概念与基本初等函数》教案

　　约15850字。
     第二章　函数概念与基本初等函数
　　§2.1　映射、函数、反函数
　　一、知识导学
　　1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则  ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
　　2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则 ，对于集合A中每一个元素 ，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作  .
　　其中所有的输入值 组成的集合A称为函数 定义域.
　　对于A中的每一个 ，都有一个输出值 与之对应，我们将所有输出值 组成的集合称为函数的值域.
　　3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y)
　　4. 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数
　　叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
　　二、疑难知识
　　1.对映射概念的认识
　　(1)  与  是不同的，即  与  上有序的.或者说：映射是有方向的，
　　(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
　　(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.       
　　2.对函数概念的认识
　　（1）对函数符号  的理解知道 y= 与  的含义是一样的，它们都表示  是  的函数，其中  是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则  . 是单值对应.
　　(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
　　（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.
　　3.对反函数概念的认识
　　（1）函数y= 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；
　　（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
　　（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
　　三、经典例题