《多面体与正多面体》教案

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　　约3080字。
     多面体与正多面体
　　●知识梳理
　　1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.
　　2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.
　　●点击双基
　　1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是
　　
　　答案：B
　　2.正多面体只有_____________种，分别为________________.
　　答案：5  正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
　　3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.
　　解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可.
　　答案：  
　　●典例剖析
　　【例1】 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于
　　A.－      B.       C.－       D.  
　　解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得
　　cosθ= =－ （设正方体的棱长为2）.
　　答案：A
　　【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.
　　解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y
　　轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2 a，0）、B（2 a，0，0）、C（0，2 a，0）、P（0，0，2 a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2 a，∴tan∠PEO= ，∠PEQ=2arctan .设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n• =x+y=0，n• =y－z=0，解得
　　
　　n=（－1，1，1），所以向量 =（－2 a，2 a，0）在n上的射影长d= = 即为所求.
　　特别提示
　　由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.
　　【例3】 三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.
　　
　　解法一： 补成一个正方体，如图甲，V= V正方体¬= ×123=864 cm3.
　　
　　甲                  乙
　　解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三棱锥=864 cm3.